Nullpunkt

Definisjon

Nullpunktet til ein funksjon f, er ei løysing på likninga f(x) = 0.
Et nullpunkt er altså eit skjæringspunkt mellom grafen og x - aksen.

Løysinga av ei likning kallar vi også ei rot.

Antalet røter

Ein vanlig førstegradsfunksjon med stigningstal forskjellig frå null, har alltid eit (og bare eit) nullpunkt.
Ein andregradsfunksjon kan ha ingen, ett eller to nullpunkt.
Ein tredjegradsfunksjon har alltid ett nullpunkt, men kan også ha to eller tre.
Generelt kan P(x) = 0 ha maksimalt ha like mange løysingar som graden av polynomet. Dvs ein fjerdegradslikning kan ha fire løysingar, osv.

Analytiske løysingar

Hvis P(x) er ein polynomfunksjon, så kan vi i prinsippet alltid løysa likninga P(x) = 0 opp til fjerde grad på papir. I skulen er vi vane med å løysa førstegradslikningar, ved å balansera likninga. Og for andregradslikingar brukar vi abc-formelen (sjå kalkulator) eller andre metodar. Men ellers nøyer vi oss med å løysa tredjegradslikningar som ikkje har konstantledd, for då kan vi setja x utanfor ein parentes, og faktoren i parentesen kan løysast med abc-formelen. Evt. så får vi oppgitt ei av røtene og kan derved faktorisera vha. polynomdivisjon. Det fins generelle formlar for tredje og fjerdegradslikningar (sjå. tredjegradskalkulatoren og fjerdegradskalukulatoren), men der stoppar det. Høgare ordens likningar kan bare løysast i spesialtilfeller. Dette vart først bevist av vår berømte landsmann Niels Henrik Abel og seinare formulert meir generelt av Evariste Galois. For andre typer likningar, kan det også finnast metodar, men for dei aller fleste fins det ingen generell metode.

Numeriske løysingar

Veldig mange likningar av typen f(x) = 0 kan vi altså ikkje løysa eksakt. Då må vi bruka numeriske metodar. To enkle metodar er halveringsmetoden og den såkalte Regula falsi. Ein annan mykje brukt metode er Newton Raphson-metoden, som bruker den deriverte av funksjonen for å finna nullpunktet. Ein liknande metode er Sekantmetoden, som bruker ein numerisk tilnærming til den deriverte. Andre metodar er Brents metode og Fixed-point iteration.

Åpne metodar vs Bracketing-metodar

Halveringsmetoden og Regula Falsi kallast på engelsk for bracketing methods. Det er fordi vi startar med å ha "fanga" eit nullpunkt mellom to verdiar a og b, der f(a) og f(b) ligg på kvar si side av x-aksen.  I motsetning til dette har vi Newton-metoden som bare krever ein gjetning, dvs. eit startpunkt. Slike algoritmar kallast derfor for åpne metodar.

Fordelen med åpne metodar er at når dei finn eit nullpunkt, så gjer dei det ganske fort. Problemet er at dei ikkje alltid finn eit nullpunkt. Bracketing-metodane finn alltid eit nullpunkt (så lenge funksjonen er kontinuerlig på intervallet [a,b] ), men dei konvergerer seinare.

Stoppkriterier

Dei numeriske metodane er iterative metodar, som vil sei at dei kjører i ei løkke og prøver å forbedra løysinga for kvar iterasjon. Vi kan stoppa løkka når eit av følgande skjer

1. Toleranse for x: |x_n - x_n-1| < eit lite tal
2. Toleranse for funksjonsverdien: |f(x_n)| < eit anna lite tal
3. Max antal iterasjonar: n < eit stort tal N

1) Betyr at forskjellen mellom den siste x-verdien og den forrige er liten nok. Vi bestemmer sjøl kva liten nok vil sei. Når algortitmen konvergerer vil avstanden mellom disse bli mindre og mindre, og vi må bestemma oss for når den er liten nok.
2) Betyr at funksjonsverdien er nær nok null. Også her bestemmer vi kva nær nok betyr. Med numeriske metodar finn vi ofte aldri nøyaktig nullpunktet, men vi kan som regel komma så nær vi vil.
3) Betyr bare at vi har prøvt veldig mange gonger uten nødvendigvis å finna eit svar.

I praksis kan vi gjerne kombinera enten 1 eller 2 med 3. Sidan Newtons metode ikkje alltid konvergerer er det nødvendig å ha med 3) med som sikkerhet, for ellers vil vi kunna få ei evig løkke.

Problem

Som vi såg ovanfor, så har alle metodane sin svakheter. Det gir også noken spørsmål:

• Korleis finn vi gode startverdiar? Newtons metode konvergerer ikkje alltid, og dette er avhengig av startverdien. På den andre sida er dei andre metodane avgengig av at vi gir dei to punkt på kvar side av x-aksen. Med andre ord treng vi å ha kjennskap til funksjonen på forhånd for å gi gode startverdiar. Har vi ikkje det, blir det prøving og feiling.
• Korleis finn vi alle nullpkt? Dette er ikkje så enkelt, og det er skrive mykje i litteraturen om dette. For oss er kanskje det beste å prøva med mange forskjellige startverdiar, og håpa på at vi treff!
• Kva med funksjoner som f(x) = x²? Her ligg nullpunktet i eit ekstremalpunktet (bunn) og f(x) er positiv på begge sider. Dermed er det umulig å bruka ein Bracketing-metode, sidan dei krever to punkt på kvar side av x-aksen.

LENKER

Roots: Open Methods.

Summary Sheet for Bracketing and open methods to estimate roots of equations.