Utvalg i sannsynlighetsrekning

Vi tenkjer oss at vi skal plukka ut tilfeldig eit visst antal (k) ting frå ei mengde med i alt n ting, og så er spørsmålet: Kor mange forskjellige måtar kan vi kan gjera dette på?

Svaret på dette er avhengig av korleis reglane for å plukka ut disse tinga er. I LOTTO for eksempel, så kan vi ikkje leggja tilbake den kula vi har trukke ut. Dette kallar vi utvalg uten tilbakelegging. I LOTTO har heller ikkje rekkefølgen betydning. Hvis vinnar-rekkja er 2 7 17 19 22 26 33, så betyr det ingenting om 33-kula vart plukka ut først eller sist, eller innimellom. Det som tel er om du har dei riktige tala. Når rekkefølgen ikkje har betydning kallar vi det for eit uordna utvalg. Dermed kan vi dela inn i fire typer utvalg:

  1. Ordna utvalg med tilbakelegging: PASSORD
  2. Ordna utvalg uten tilbakelegging: LOTTERI
  3. Uordna utvalg med tilbakelegging: PLUKK & MIKS
  4. Uordna utvalg med tilbakelegging: LOTTO

Eksempel

1) PASSORD. Anta at du skal laga eit passord på k = 4 tegn, der kvart tegn skal vera ein engelsk bokstav. Hvis vi bare bruker små bokstaver, har vi dermed n = 26 tegn å velja blant. Vi får då 26 * 26 * 26 * 26  =  264 = 456976 ulike kombinasjonar.  Dette er ein anvendelse av multiplikasjonsprinsippet. Her har rekkefølgen betydning: pp15 funkar ikkje hvis passordet er pp51! Men vi har lov til å ha like tegn. Det betyr at dette er ordna utvalg med tilbakelegging. Formel: nk

2a) LOTTERI La oss sei at vi sel n = 100 lodd og har k = 3 ulike premier. Og i tillegg har vi ein regel om at ingen kan få meir enn ein premie. Også her har rekkefølgen betydning fordi vi trekkjer førstepremien først osv. Dette blir derfor ordna utvalg uten tilbakelegging.Når vi trekkjer førstepremien har vi 100 mulige lodd. Men når vi trekkjer andre har vi 99 igjen, og så til slutt 98. Alt i alt har vi då 100 * 99 * 98 = 970200 ulike måtar å trekkja ut dei tre vinnarane på. Formel: n * (n-1) * .... *(n - k +1). Det siste leddet i vårt eksempel er 100 - 3 + 1 = 98. På kalkulatorar fins det ofte ein egen knapp for dette som heiter nPr. I vårt tilfelle får vi 100P3 = 970200.

2b) Antall måtar å ordna n element. Kor mange kombinasjonar kan vi laga med tala 1 2 3 4 5? Dette kan vi sjå på som å trekkja 5 av 5 tal (ordna uten tilbakelegging). Etter samme tankegang som over, så har vi 5 muligheter for å trekkja første talet, 4 på det andre osv. Det gir oss totalt 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 muligheter. Dette talet kallast for 5 fakultet, og vi skriv det som 5! Vi kan altså ordna n ulike element på n! måtar. Dette er, som sagt, det samme som å trekkja 5 av 5, så vi skal få same tal om vi bruker nPr-knappen med 5 på begge sider: 5P5 = 120. Sjå eksempel på dette.

3) PLUKK & MIKS. Når vi  plukker godteri av diverse typar i ein pose, så er det opplagt at rekkefølgen ikkje har betydning. Det er kor mange av dei ulike sortane vi plukker som har betydning. Vi har derfpr eit uordna utvalg. Og sjøl om vi ikkje legg tilbake, så kan vi i posen vår ha mange like bitar. Så når vi ikkje bryr oss om dei ulike bitane, bare om sorten. Det vil sei at dett er eit uordna utvalg med tilbakelegging. Dette kan vi også rekna på, og det fins ein formel for dette. Men dei fleste lærebøker tar ikkje dette med.

4) LOTTO. I trekningen på laurdagslotto plukker dei ut k = 7 kuler av totalt n = 34. For kvar gong blir kula lagt til side, så dette er opplagt uten tilbakelegging. Lotto går ut på å tippa dei rette tala, så her har rekkefølgen ingen betydning. Derfor er dette uordna utvalg uten tilbakelegging. Men la oss likevel først rekna ut kor mange utvalg det hadde blitt hvis rekkefølgen hadde hatt betydning. Då ville dette blitt tilsvarande eksempel 2a over, så vi hadde fått 34 * 33 * 32 * 31 * 30 * 29 * 28 ulike utvalg. (34P7) Men dette talet er alt for stort fordi det er veldig mange av disse som egentlig er samme tala, bare ulik rekkefølge. Som vi såg i eksempel 2b, så kan vi ordna 7 tal på 7! måtar. Det betyr for kvart av dei setta som lottomaskinen plukkar ut, så fins det tilsamen 7! = 5040 måtar å trekkja ut dei same tala på. Det totale antal forskjellige sett er då gitt ved 34 * 33 * 32 * 31 * 30 * 29 * 28 / 7! = 5379616. Formelen er altså n * (n-1) * .... *(n - k +1) / n! Dette kallast for binomialkoeffisienten som ofte skrivest binomialkoeffisient. Tilsvarande knapp på kalkulatorar er nCr. I vårt eksempel får vi 34C7 = 5379616. Du lesa meir om Pascals trekant og binomiske forsøk.

Oppsummering

La oss sjå på antall måtar å plukka to tall frå mengden {1, 2, 3, 4}. Her er altså k = 2 og n = 4. Dei to første kolonnene er ordna utvalg, dei to siste er uordna. Så er disse igjen delt opp i med og uten tilbakelegging. Med så liten mengde å plukka frå kan vi ramsa opp alle utvalg av dei ulike typane:

Ordna Uordna*
Med Uten Med Uten
11
11
12 12 12 12
13 13 13 13
14 14 14 14
21 21

22
22
23 23 23 23
24 24 24 24
31 31

32 32

33
33
34 34 34 34
41 41

42 42

43 43

44
44
n2 = 16 nPk = 12 10# nCk = 6

*Dei uordna utvalga er sortert i stigande rekkefølge (slik som i LOTTO). Det betyr at td. 31 ikkje står i lista fordi 13 allerede er med lenger oppe.
# For dei som lurer er formelen (n+k-1)Ck. Her blir det 5C2 = 10.

Les meir om dei tre typane utvalg som er med i pensum på NDLA.