Talmengder

Ei mengde er ein samling av ulike objekt. Vi er som regel opptatt av tallmengder. For eksempel kan vi definera ei mengde M som består av tala 1, 3 og 5. Dette er ei endelig mengde som vi kan skriva som

M = {1, 3, 5}.

Når vi skriv opp alle tala på denne måten med klammeparenteser, seier vi at mengden er på listeform. For å indikera at eit tal x er med i mengda skriv vi x ∈ M (x er element i M)

Den tomme mengden: Hvis ei mengde ikkje inneheld noken element, kallar vi det for den tomme mengden. Denne har fått symbolet , og vi kan skriva = {}.

Delmengder: Hvis vi ser på mengden D = {1,3}, så ser vi at alle tala som er med i D også er med i M, men motsatt fins det tal i M som ikkje med i D. Då seier vi at D er ei ekte delmengde av M. Dette skriv vi som: D ⊂ M. Eit litt svakare krav er hvis vi har ei mengde E der vi kan skriva E ⊆ M. Det vi veit om mengda E då, er at den enten er ei ekte delmengde av M, eller at den er lik M.

Operatorane (Kva kan vi "gjera" med mengder?)

Hvis A = {1, 3, 5} og B = {4, 5, 6} så bruker vi som regel* disse tre måtane å kombinera disse på, nemlig union, snitt og mengdedifferanse:

• Unionen av A og B er definert som alle element som er med i A eller B. Vi skriv dette som A ∪ B. Vi har altså at A ∪ B =  {1, 3, 4, 5, 6}.
• Snittet av to A og B er definert som alle element som er med i både A og B. Vi skriv dette som A ∩ B. Vi får at A ∩ B = {5} fordi det bare er 5 som er med i begge mengdene.
• Mengdedifferansen (eller Komplement) av to A og B skriv vi A \ B. Dette er mengden av alle element som er med i A, men ikkje i B. Vi får A \ B = {1, 3}.

Venn-diagram

Mange gonger er det lurt å tegna mengdene. Då kan vi bruka såkalte Venn-diagram der kvar mengde er representert med ein sirkel. Nedanfor har vi tegna to mengder A og B som overlappar. Unionen representerer då alle elementa i begge mengdene, og er tegna til venstre. Snittet er det som er felles i begge mengdene, mao. "overlappet". Til høgre er mengdedifferansen B \ A. (Hvis vi tenkjer oss A til venstre)

Vanlige talmengder

$\mathbb{N}$ - Naturlige tal. Dette er dei tala vi brukar til å telja med: $\mathbb{N}$ = {1, 2, 3, 4, 5 ...} (Merk at noken gonger er 0 tatt med her.)

- Heile tal.  = {... , -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}.  Her er alle dei naturlige tala med, pluss 0 og alle negative tal. $\mathbb{N}$ er altså ei ekte delmengde av . Dvs: ℕ ⊂ 

- Rasjonale tal = alle tal som kan skrivast som ein brøk der både teljar og nevnar er heiltal. Her er alle heile tal med pluss tal som 2/3, 1/9 osv. Z er altså ei ekte delmengde av , altså: ℕ ⊂   ⊂

- Reelle tall = alle tal som fins på tallinja.  Her er alle rasjonale tal med, men også slike som ikkje kan skrivast som ein brøk, for eksempel π  eller √2. Disse tala Q er altså ei ekte delmengde av R, altså: ℕ ⊂   ⊂ ⊂ .

Vi kan oppsummera samanhengen mellom dei ulike typane med Venndiagrammet til høgre: 

- Komplekse tal. Dette er tal som kan skrivast som  z = a + ib der konstanten i er definert som √-1. Her er a er b reelle tal. a kallast for realdelen, og b kallast for imaginærdelen av talet. Dette forklarer også korfor dei kallast komplekse: dei må beskrivast vha to reelle tal. Hvis b = 0, så er talet eit reelt tal, dvs på tallinja, men ellers ikkje. Dermed må vi tegna dei komplekse tala i eit plan med ein reell akse og ein imaginær akse. Dette er ikkje så lett å akseptera når ein ikkje er vane med tankegangen, men komplekse tal har vist seg veldig nyttig innan mange ulike felt. Som vi forstår: er ei delmengde av .

For dei som lurer på bokstavane som vi bruker: Z skal komma frå det tyske ordet for tal: "zahlen", og Q kjem visstnok frå det italienske^# ordet for kvotient: "quoziente." C kjem rimeligvis frå engelsk "complex". Tal som er med i , men ikkje i , kallast for irrasjonale tal.  Disse har ikkje fått eigne boksavar, men vi kan bruka mengdedifferanse og skriva mengden av dei irrasjonale tala som  \ . Tilsvarande kan vi skriva mengden av imaginære tal som \ .

Intervall

Men la oss venda tilbake til tallinja. Ofte har vi bruk for å beskriva ein del av tallinja. For eksempel alle tal x som er slik at 2 < x < 5, altså alle tal som er større enn 2 og mindre enn 5. Disse kan vi skriva som intervallet <2,5>. Dette kallast for eit åpent intervall, sidan grenseverdiane 2 og 5 ikkje er med i mengden. Hvis vi tar dei med, så får vi eit lukka intervall: Hvis 2≤x≤5 er mengden av alle tall som er større eller lik 2 og mindre eller lik 5. Dette skriv vi som [2,5]. Hvis det eine endepunktet er med, men ikkje det andre, kallast det for eit halvåpent intervall, feks. [2,5>. Alle disse intervalla erendelige intervall. Men vi har også bruk for å beskriva intervall som går mot uendelig i eine eller andre retningen. Tal som er større eller lik sju, kan vi skriva som [7,∞>

Vi har også ofte behov for å skriva mengder som er sett saman av to eller fleire intervall. Tal som er mellom 2 og 5 eller større enn sju kan vi då skriva som unionen av to intervall: <2,5> U  <7,∞>

Kardinaltal.

Antal element i ei mengde kallast for kardinaltalet. Mengden A = {2, 4, 6} inneheld 3 element, og har derfor kardinalitet 3. Kva så med uendelige mengder? Det viser seg at det er forskjellige former for uendelighet, og det gir derfor meining å operarera med ulike kardinaltal for dei relle tala enn for for eksempel dei naturlige tala. Dette har med begrepet tellbarhet å gjera: dei naturlige tala er tellbare, mens dei reelle er det ikkje.