Eksempel med lineær vekst

Vi tar utgangspunkt i et eksempel med plantevekst, der høyden h til ei plante er gitt ved formelen:

h = 2x + 5

Her er h gitt i centimeter, og x er antall veker etter at vi får planten.

1. Å bruka ei likning

Dette betyr å setta inn for x og rekna ut h.

Eksempel: Kor høg er planten etter 5 veker? Her har vi at x = 5. Så vi set det bare inn i formelen og reknar ut:

h = 2*5 + 5 = 10 + 5 = 15

Høyden er 15 cm.

2 Løysa likning.

Hvis vi kjenner høyden h, men skal finna x, så må vi løysa ei likning.

Eksempel: Når er høyden 19 cm? Her set vi inn h = 19. Då får vi følgande likning:

19 = 2x +5 (innsatt h = 19)

19 - 5 = 2x (flytter over)

14 = 2x (trekkjer saman)

x = 7 (deler på 2 på begge sider)

Høyden var 19 cm etter 7 veker.

3 Omforming av ein formel

Av og til har vi bruk for å finne ein formel for x i staden for h. Då må vi gjera det samme som då vi løyste likningen, bare at vi ikkje veit h:

h = 2x +5

h - 5 = 2x

x = (h - 5)/2

Denne formelen kan vi bruka til å finna x når vi kjenner h. Ved å setja inn h = 19 får vi det samme som i stad, rimeligvis!

4 Rette linjer.

La oss skriva om formelen vår:

y = 2x + 5

Vi kan no framstilla denne planteveksten som ei rett linje i eit koordinatsystem. For å tegna ei rett linje treng vi bare to punkt. Disse kan vi finna ved å velja to x-verdiar og rekna ut y. Vi kan feks. bruka den verdien vi fant i 1), nemlig at når x = 5, så er y = 15. Som punkt to kan vi gjerne velja x = 0, sidan det gir oss ein enkel rekning: y = 2*0 + 5 = 5. Oppsummert i ein verditabell kan vi skriva dette slik

Dette gir oss då punkta P₁ = (0,5) og P₂ = (5,15). Vi treng no bare å tegna inn disse punkta i koordinatsystemet, og trekkja ei rett linje mellom. Vi får då denne grafen:

Spørsmål: korleis veljer vi x? Svar: Det avheng av oppgaven. Hvis vi skal tegna veksten opptil feks 23 veker, så kunne vi gjerne ha valgt x = 20 i staden for x = 5, i eksempelet over. Då må vi også utvida området for y-aksen slik at vi får med heile grafen.

På GeoGebra: Det er veldig enkelt å tegna denne grafen i GeoGebra. Du treng bare skriva inn uttrykket for linja, 2x + 5, og så dukkar den opp!

5 Konstantledd og stigningstall.

Den generelle likningen for ei rett linje kan vi skriva som y = ax + b, der a og b er tal. Vi hadde over at a = 2 og b = 5. Men det kan vera kva som helst tal, også negative.

Så la oss først sjå på et eksempel der vi beheld a = 2, men set b = 10. Likningen vår blir då y = 2x + 10. Hvis vi gjer det samme som i over får vi at den går gjennom punkta (0,10) og (5, 20) Grafen blir då slik:

Vi ser at dei to grafane er parallelle, men dei skjer y-aksen på ulike punkt. Den grøne linja skjer i y = 5, og den blå linja skjer i y = 10. Dette er det samme talet som b-en i den generelle likningen over. Vi ser då at b-en er lik startverdien for veksten. Den første planten er 5 cm når vi får den, mens den andre er 10 cm. Vi kaller b for konstantleddet, og det fortel oss kor grafen vår skjer y-aksen.

Så ser vi på eit eksempel der vi har samme b som for den grøne linja, men no endrar vi konstanten a til a = 4. Likningen blir då y = 4x + 5. Grafen ser slik ut:

Her ser vi at grafen skjer y-aksen i samme punkt, nemlig (0,5). Dette stemmer jo med det vi sa over, sidan dei har samme konstantleddet. Men vi ser også at grafen stig brattare enn den første. a-en må altså ha noko med stigningen å gjera. Derfor bli konstanten a kalla for stigningstalet for linja. Stigningstalet til linje 3 er 4. Det betyr at hvis vi startar i eit punkt på grafen, og går eit steg til høgre, så må vi gå fire steg opp. Praktisk så fortel dette oss at planten beskrive av den brune linja (med a = 4) veks 4 cm per veke. Den grønne viser ei plante som veks med 2 cm/veke. Men begge er altså 5 cm når vi får dei.
Hvis vi zoomar litt inn på grafen, så ser vi dette tydeligare:

Merk at hvis stigningstalet a = 0, så betyr det at linja er horisontal (ingen stigning) og hvis det er negativt, dvs. a < 0, så betyr det at linja går nedover.

6 Grafisk avlesning

Vi kan bruka ein graf til å lesa av verdiar, sjøl om vi ikkje kjenner likninga for linja. Det er to måtar å lesa av ein graf på. Enten har vi oppgitt ein x, og skal finna y, eller motsatt, vi har oppgitt y og skal finna x. Her bruker vi fremdeles linje 1, som vi starta med:

Eksempel: (Gitt x, finn y) Kva er høyden etter 8 veker? Her startar vi i punkt A (x = 8) på x-aksen og går rett opp til grafen (punkt B) og deretter  vannrett bort til y-aksen (punkt C ) og les av verdien: y = 21. Høyden er altså 21 cm etter 8 veker. NB: Dette er det samme som vi ville ha fått om vi brukte sette inn x = 8 og rekna ut, slik som i eksempelet over.
På GeoGebra: Det vi treng å gjera i Eks1 er 1) Laga den vertikale linja x = 8. 2) Finn skjæringspunktet B, mellom denne linja og "vår" linje y = 2x + 5 (den grønne). Svaret er y-koordinaten til dette punktet. Sidan B = (8,21), så er svaret altså y = 21.

Eksempel: (Gitt y, finn x) Når var høyden 30 cm? Her startar vi på y-aksen i punkt D (y = 30), og går vannrett bort på grafen (punkt E). Så går vi rett ned og treff punkt F, og les av verdien x = 12,5. Det går altså 12.5 veker før høyden blir 30 cm. NB: Dette er det samme som vil ville funne om vi sette y = 30 og løyste likningen, slik som i eksempelet over.
På GeoGebra: Vi gjer vi det same som over, bare at vi startar ved y-aksen. 1) Tegn den horisontale linja y = 30. 2) Finn skjæringspunktet E, mellom denne og den grønne linja. Svaret er x-koordinaten til E. Sidan E = (12.5, 30), så er svaret altså x = 12.5

Siste eksempel: Anta at vi har ei plante av eit anna slag, som er 10 cm når vi får den, og som veks med 1 cm per veke. Det betyr at b = 10 og a = 1. Formelen for denne  planta er då: y = x + 10. Under er denne tegna inn i samme diagrammet som den første:

Eit typisk spørsmål er ofte: når er plantene like høge. Når vi har tegna inn begge linjene, som over, så koker dette ned til å finna skjæringspunktet. Vi ser at linjene skjer kvarandre i punktet (5,15). Svaret er då x-verdien: x = 5. Plantene er like høge etter 5 veker.
På GeoGebra: Her må vi tegna begge linjene, og bruka menyvalget "Skjæring mellom to objekt" som du finn i nedtrekksmenyen under knappen "Nytt punkt". For å finna skjæringespunktet må du markera begge linjene. Så dukkar punktet opp, som i figuren over.