Tallfølger

30 mai 2017

Ei tallfølge er rett og slett ei liste med tall. Vi kan gjerne kalla det ei ordna tallmengde. For eksempel følgen av dei naturlige tala frå ein til fem: {1,2,3,4,5} Dette er ei endelig følge, men ofte handlar det om uendelige følger. Følgen av alle naturlige tall kan vi skriva {1, 2, 3 ... } der "..." symboliserer at følgen fortset i det uendelige.

Vi skriv ofte følger vha indekserte bokstaver på denne måten: {a1, a2, a3, a4 ... }

Eksplisitte og rekursive formlar

For å definera ei tallfølge treng vi ein regel som lar oss finna det n-te leddet an. Primtal kan vi definera som tal som ikkje kan dela på andre tal enn seg sjøl. Men det fins ingen formel som gir oss primtal nr n. Men som regel er an gitt ved ein formel.

Eksempel: Kvadrattala er {1, 4, 9,16, 25 ... }Her er det n-te leddet definert ved an= n2. Dette er ein såkalt eksplisitt formel, der an er gitt som ein funksjon av n. Eit anna eksempel på dette er trekanttala som er gitt ved formelen an = n(n+1)/2. Det gir oss følgen {1, 3, 6, 10, 15 ...}

trekanttal

Men ofte er det meir hensiksmessig å definera ei tallfølge ved ein rekursiv formel. Det betyr at ledd nr n er gitt som ein funksjon av ein eller fleire av dei forrige ledda. Eksempel på dette er Fibonacci-tallfølgen der kvart ledd er summen av dei to foregåande. Dette kan vi skriva som Fn = Fn-1 + Fn-2. Merk at for å få ei eintydig følge, så må vi her også oppgi to F-ar for å kunna rekna ut resten. Hvis vi set F1 = 1, og F2 = 1, så gir dette tallfølgen {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... } Fibonacci-tala dukkar ofte opp i naturen der vi finn spiralmønster. NrK har ein liten videosnutt om dette.

Aritmetiske og geometriske følger

Ei tallfølge der differansen mellom eit ledd og det foregåande er konstant kallar vi ei aritmetisk tallfølge. Ei slik kan vi beskriva  vha. den rekursive formelen an = an-1 + d.  der d er differansen mellom ledda. Eksempel er følgen {1, 4, 7, 10, ... }. Her er differansen d = 3. Vi har altså at a1 = 1 og an = an-1 + 3 (for n > 1). Som i eksempelet med Fibonacci-følgen, så må vi her oppgi startverdien a1 for at følgen skal vera eintydig. Men her kan vi også finna ein eksplisitt formel, nemlig an = a1 + (n-1)*d. I eksempelet blir dette: an = 1 + (n-1)*3. I ei geometrisk følge er forholdet mellom eit ledd og det foregåande er konstant. Denne følga kan også skrivast på to måtar. Den rekursive formelen er: an = k*an-1 der k er kvotienten. Tilsvarande eksplisitt formel blir an = a1 *k (n-1). Sjå for eksempel følgen {3, 6, 12, 24, ...} som vi kan skriva enten som a1 = 3 og an = 2*an-1 (for n  >  1) eller  som  an = 3 *2 (n-1).

Konvergens

Den geometriske følgen i eksempelet over går jo mot uendelig for store n. Det er ingen grenser for kor stort ledd an kan bli. Når det er slik, seier vi at følgen divergerer.  Men hvis derimot |k| < 1 vil an gå mot null når for store n. Eksemplevis gir k = 0.1, og a1 = 1 følgen {1, 0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, ...} som tydelig går mot null. Når an på denne måten nærmar seg eit tal når n går mot uendelig, så seier vi at følgen konvergerer. Merk at det talet som an går mot ikkje treng vera null. Eksempel: følgen {0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, ... } konvergerer mot 1.

Bundne følger.

Eit svakare krav enn konvergens er hvis følgen har ein øvre og/eller nedre skranke. Hvis an < K for alle n, så seier vi at følgen er bunden ovanfrå, og at den har øvre skranke lik K. Tilsvarande for det motsatte tilfellet. Eit trivielt eksempel på dette er følgen {3, -3, 3, -3, ...} som er bunden både ovanfrå og nedanfrå. Den har øvre skranke lik 3 og nedre skranke lik -3. Denne følgen er også periodisk. Sjå meir om dette under.

Den logistiske avbildningen

Eit mykje meir interessant eksempel er tallfølgen som er gitt ved den rekursive formelen:

xn+1 = r·xn·(1-xn)

Dette kallast for den logistiske avbildningen. Det spesielle med denne er at, avhengig av parameteren r, så vil den i noken tilfeller konvergera, i andre tilfeller vera periodisk og i atter andre tilfeller vil den oppføra seg kaotisk. Her er eit eksempel på dette, der du kan sjøl leika deg med ulike verdiar for r.

LENKER

Tallfølger på NDLA (Lærestoff R2)