Oppdrift og Arkimedes sin lov

Når vi senkar ein gjenstand heilt eller delvis ned i ei væske (oftast vatn) vil det virka trykk-krefter på alle overflatene til gjenstanden. Sidan trykket under gjenstanden er litt større enn trykket over, vil summen av disse trykk-kreftene virka oppover, og denne kraftsummen kallar vi for oppdrift. Hvis oppdriften er større eller lik tyngden, så vil den flyta. Hvis ikkje vil den synka.

Arkimedes sin lov

Arkimedes vart fødd rundt år 287 f.kr. i havnebyen Syrakus på Sicilia, og var både oppfinnar, matematikar og fysikar. Han bestemte for eksempel ein tilnærma verdi for pi med ein metode som var forgjengaren til infinitesimalrekninga. Men han er kanskje mest kjent for sin lov om oppdrift. Arkimedesloven seier at ein gjenstand som er helt eller delvis nedsenka i en væske får ei oppdrift lik tyngda av den væskemengden som gjenstanden fortrenger.

Utledning

Vi tenkjer oss ein sylinder som er heilt nedsenka i vatn. Då vil det verka trykk-krefter både frå sidene og frå topp og bunn. Sidan vi tenkjer oss at sylinderen ligg vertikalt, så vil alle trykk-kreftene på sidene utlikna kvarandre. Sidan trykk er definert som kraft per areal, dvs. p = F/A, så kan vi snu på formelen og uttrykka trykk-krafta som F = p ·A. Her er altså A arealet av toppen / bunnen av sylinderen. Vi skal bruka denne formelen til å finna krafta F1 som virker ovanfrå og ned på sylinderen og krafta F2 som virkar nedanfrå og opp. Vi får at F1 = p1 ·A og F2 = p2 ·A, der p1 og p2 er trykket på toppen, dvs i dybden h1, og ved bunnen, dvs i dybden h2. Differansen mellom disse to kreftene gir oss no oppdrifta: O =  F2 - F1 =  p2 ·A -  p1 ·A = (p2 -  p1) ·A.

oppdrift

For å komma vidare, treng vi ein formel som gir oss trykket i ei veske i dybden h. Dette kallast hydrostatisk trykk, og vi veit at den er gitt ved Pascals lov:

p = p0 + ρgh

Her er p0 lufttrykket, ρ er massetettheten til væska, og g er tyngdeakselerasjonen. Altså har vi at trykket i dybden h2 er lik p2 = p0 + ρgh2, og trykket i dybden h1 er lik p1 = p0 + ρgh1, Det betyr at oppdriften no kan skrivast som O =  (p0 + ρgh2, - p0 + ρgh1,) ·A, som forenklar seg til ρg(h2 - h1) ·A, og når vi forstår at h2 - h1 er det same som høgden til sylinderen, og at høgda multiplisert med arealet A er det same som volumet V, så får vi likninga

O = ρgV

Når vi veit at ρV er det same som massen til den væskemengda som sylinderen vår har fortrengt, så forstår vi at ρgV er vekta til den fortrengte væskemengda. Dermed har vi vist Arkimedes sin lov.

Eksempel

La oss tenkja oss at sylinderen er ein malingboks på ein liter. Hvis vi held den under vatn, så vil den få ein oppdrift som er lik vekta av 1l vatn, og den er omtrent 1kg · 9.98m/s2 = 9.8N. For å vita om malingboksen flyt opp, så må vi vita kor mykje den veg. For å gjera det enkelt tenkjer vi oss at sjølve boksen veg så lite at vi kan sjå bort frå den. La oss vidare anta at den er fylt opp med maling som har massen 0.8kg. Det betyr at massetettheten til denne malingen er litt mindre enn massettheten til vatn. Tyngden av boksen er då lik 0.8 kg · 9.98m/s2  = 7.84 N. Akkurat i det vi slepp boksen vil summen av kreftene dermed vera lik 9.8 N - 7.84 N = 1.96 N retta oppover.

Konklusjon: boksen vil flyta opp. Men hvis vi skal rekna på bevegelsen vidare, så må vi huska på at straks den begynner å bevega seg, så vil den i tillegg til trykk-kraftene, dvs oppdriften også møta bevegelsemotstand frå vatnet. Dette er parallellen til luftmotstand og aukar med aukande fart. Det betyr at ganske snart vil summen av kreftene på boksen vera tilnærma null. Så ein boks som vi slepp frå djupt vatn vil først akselerera, men deretter vil den stiga oppover med konstant fart. For å rekna på ein slik bevegelse treng vi å kjenna væskemotstanden som funksjon av farten. Les meir om Luft- og væskemotstand.

Presisering:

I Store Norske Leksikon er oppdrift definert som "summen av kreftene som virker mot overflaten av en gjenstand når det helt eller delvis er nedsenket i en væske eller gass." Dette er i beste fall misvisande, fordi væskemotstanden også er ei kraft som virkar mot overflata av ein gjenstand. Så det er riktigare å sei at oppdriften er summen av trykk-kreftene, slik det er definert her. Oppdrifta er altså utelukkande eit resultat av at trykk-kreftene er større på undersida enn oversida, og oppdrifta vil derfor alltid virka oppover. Men som diskutert over: for å rekna på bevegelse treng vi å kjenna dei andre kreftene som virkar.  

Båtar og ubåtar

Ein båt som flyt i vatnet har oppdrift som akkurat tilsvarar vekta. Då er det volumet av den delen av båten som ligg under vatn som vi skal bruka i likninga vår. Hvis båten får meir last (blir tyngre) så vil den kompensera for dette ved å liggja lavare i vatnet. Det fører til at volumet av den fortrengte væskemengda større, og dermed blir også oppdriften større. Alle som driv kommersielle frakteskuter er freista til å fylla opp båten så mykje som mulig. Dette fører til mindre fribord, og mindre toleranse for bølgjer og uver. Dette har ført til mange forlis, og i dag er det derfor strenge reguleringar for kor mykje ein båt kan lastast. Så på alle lastebåtar vil du finna lastelinjer (også kalla plimsoll-merkjer etter Samuel Plimsoll som innførte disse) på skroget, og disse fortel kor lavt i vatnet båten kan liggja. Nedanfor ser du eksempel på slike. For norske båtar vil du istaden for AB, som regel finna merket NV, som står for Det Norske Veritas, som sertifiserer norske båtar.


Ein ubåt i overflatestilling er som ein vanlig båt, der ein stor del av båten ligg under, og sørgjer for nok oppdrift. Men når ubåten skal dykka, treng den å bli tyngre, og det får ein til ved å fylla ein ballast-tank med vatn. Når den skal opp igjen, blir denne tanken fyllt med luft. Prinsippet liknar på svømmeblæra til ein fisk, og gjer at ubåten heile tida kan balansera sin egen vekt mot oppdrifta i henhold til den operasjonen dei skal foreta. Figuren under viser ved eit tverrsnitt av ein ubåt korleis dette kan sjå ut:


I tillegg til ballast-tanken har også ein ubåt såkalte trimtankar, som balanserer båten i lengderetningen ved å kompensera for endring av tyngdepunkt når mannskapet forflyttar seg, eller ved bruk av drivstoff . Dessuten bruker dei også sjølsagt motorkraft, og dei har også ulike "vinger" og dybderor, som tilsvarar høyderoret på eit fly, for å styra retningen.

Oppdrift i gassar

Prinsippet med oppdrift er akkurat det same i gassar (som luft) som i væsker (som vatn). Forskjellen er at massetettheten ρ for ein gass er mykje mindre enn for ei væske, og dermed blir oppdriften mindre ved same volum V. Og det betyr igjen at for å få oppdrift av betydning så må volumet V vera stort. Ein varmluftballong kan feks ha eit volum på omkring 4000 m³. Det betyr at den fortrenger eit volum på 4000 m³ med atmosfærisk luft. Ved 24 °C, er tettheten på luft omkring 1.17 kg/m³. Det betyr at ballongen fortrenger ein masse på omkring 4680 kg, tilsvarande ei vekt på omkring 46 kN. Dette er altså oppdrifta. Med same temperatur inne i ballongen ville lufta i den vega akkurat det same, og ballongen ville vera for tung til å stiga. Men hvis vi varmar opp lufta til for eksempel 104 °C, så minkar tettheten til omkring 0.92 kg/m³, slik at massen til lufta inne i ballongen bare er 3680 kg. Med andre ord er oppdriften nok til å løfta eit tonn. Sjølve ballongen er på omtrent 100 kg. Så vi kan festa ei korg under med utstyr og folk. Så hvis vi antar at korga er på 150 kg og gassbrennaren med gassflasker veg 250 kg, så har vi igjen 500 kg for passasjerer og bagasje.

No er det slik at tettheten ρ til jordens atmosfære minkar med høyden. Samtidig minkar også trykket, og dette kan føra til ein utviding av ballongen, dvs større volum. Dette er likevel ikkje nok til å kompensera for lavare ρ, og dette gir i sum minkande oppdrift. Ein stigende ballong vil derfor etter kvart slutta å stiga. Hvis ein vil begynna nedstiging kan ein slå av brennaren og venta til at temperaturen blir lavare. Men hvis ein vil at det skal gå fortare kan ein sleppa ut varmluft gjennom eit lite hol i toppen av ballongen og samtidig sleppa inn kaldare i opningen ned kan ein senka temperaturen i ballongen. Derved blir tettheten til lufta i ballongen større og derfor også totalvekta. Motsatt kan ein skru opp effekten på brennaren for å skapa meir varmluft. Slik kan ein altså justera temperaturen for å få ballongen til så stiga opp eller ned:

Alternativet til varmluft er gassar som naturlig er lettare enn luft. Den lettaste gassen er hydrogen som tidligare vart brukt til ballongar og luftskip, men problemet er at hydrogen er veldig brennbart. Så etter den store ulykka med luftskipet Hindenburg har dette vore lite brukt. Helium er den nestlettaste gassen og har vore mykje brukt. Problemet med den er at det er lite av gassen på jorda, og er i praksis ein ikkje-fornybar ressurs. Derfor leitar ein etter andre gassar for erstatning.

Det første romkappløpet

Æra for den første ballongferda går tradisjonelt til dei franske brødrene, Joseph-Michel og Jacques-Étienne Montgolfier som den fjerde juni 1783, demonstrerte ein ubemanna varmluftballong med diameter på 10.5 m. Den var laga av tøy og papir og lufta vart varma opp av brennande gras. Dette fekk oppfinnaren Jacques-Alexandre-César Charles rede på. Sidan han kjente til at hydrogen var lettare enn luft forsto han at dette var ein lur ting å bruka til ballongar, og 27 august same år sleppte han laus ein ubemanna hydrogenballong laga av silke med eit gummibelegg. Gummibelegget var viktig for det hindra at hydrogenet slapp ut. Då den landa 15 borte i landsbyen Gonesse, vart den straks ødelagt av forferda beboarar. Men kappløpet var i gong, og brødrene Montgolfier kontra med ein varmluftballong som hadde med seg ein sau, ei and, og ein hand frå Versailles den 19 september. Dette var visstnok for å finna ut om dyr kunne overleva i stor høyde. Mens den godeste Charles jobba iherdig med å laga ein gassballong som var stor nok til å løfta han sjøl, gjorde Jean-François Pilâtre de Rozier og  François Laurent den første bemanna frie luftferda, bivåna av kong Louis XVI, Marie Antoinette samt byens borgarar. Dette skjedde over Paris den 21 november, og ballongen var laga av brødrene Montgolfier. Bare ti dagar seinare gjorde Charles den første bemanna ferda med ein gassballong, saman med Marie-Noël Robert. Då dei landa i Nesles, nesten 36 km unna, steig Robert av for å la Charles gjera ei ny ferd åleine. Med mindre vekt steig den då fryktelig fort, og stoppa ikkje før den nådde 3000 m høgde, før Charles til slutt klarte å få den trygt ned!

Charles sin lov

Ikkje lenge etter denne bragda oppdaga Charles at når trykket er konstant, så vil volumet av ein såkalt idealgass (som hydrogen er, sånn omtrent) auka proporsjonalt med den absolutte temperaturen T til gassen. Altså formluerte han det som i ettertid har blitt heitande Charles' lov:

V = kT

Her er k ein konstant. Denne loven er no rekna som eit spesialtilfelle av ein meir generell lov kalla (ideal-)gassloven.

Flygande fysikarar

Ballongflyging vart fort populært. I 1785 kryssa Jean Pierre Blanchard og John Jeffries den engelske kanaler. Men det skulle også bli eit nyttig redskap for fysikarar. I 1804 brukte Jean-Baptiste Biot (kjent frå den såkalte Biot-Savart sin lov) og Joseph Louis Gay-Lussac ein ballong for å studera korleis atmosfæren sine magnetiske, elektriske og kjemiske egenskapar endra seg ved ulike høgder. Dei kom opp i nesten 4000 m høgde.  Gay-Lussac gjorde etterpå ei ferd på egen hånd der han kom opp i over 7000 m høgde. Formålet med denne var å samla prøver av lufta for å måla forskjellar i temperatur og luftfuktighet. Seinare har ballongar vore flittig brukt til å studera atmosfæren - med og uten fysikarar i. I 1930 bygde den sveitsiske fysikaren Auguste Piccard ein ny type ballong for å studera kosmisk stråling. Ballongen hadde ein lufttett kabin med egen trykkluft. To år seinare flaug han denne opp til over 17 000 meter.

Gay-Lussacs lov

Gay-Lussac er ellers best kjent for sin egen lov, sjokkerande nok kalla Gay-Lussacs lov, som seier at trykket i ein gass med fast volum er proporsjonal med Temperaturen. Altså at

p = kT.

Også dette kan sjåast som eit spesialtilfelle av idealgassloven.

LENKER

Elements of balloon flight

November 1783: Intrepid physicist is first to fly.