Halveringsmetoden

Halveringsmetoden er ein enkel iterativ metode for å finna eit nullpunkt til ein funksjon, dvs. finna ei løysing på likninga f(x) = 0. For å bruka metoden må vi kjenna to punkt a og b som er slik at f(a) og f(b) har ulikt fortegn, og  funksjonen må vera kontinuerlig mellom på intervallet [a,b]. Vi startar med å finna midtpunktet m mellom a og b. Hvis  f(m) og f(a) har ulikt fortegn, så leitar vi vidare i intervallet [a,m]. Hvis ikkje fortset vi med intervallet [m,b]. Slik kan vi fortsetja heilt til vi er fornøyd med svaret!

Eksempel

Vi skal finna eit nullpunkt til funksjonen under og startar med verdiane a = 6 og b = 12. Vi finn då midtpunktet m = 9.

halveringsmetoden

Vi ser av figuren at både f(6) og f(9) er negative. Derfor må vi leita vidare i intervallet [9,12]. Vi set no a = 9 og b = 12 og finn eit nytt midtpunkt mellom disse, m = 10.5

halveringsmetoden

Denne gongen ser vi at f(9) er negativ, mens f(10.5) er positiv. Det vil sei at vi kan fortsetja å leita i intervallet [9,10.5]. Vi set altså a = 9 og b = 10.5 og finn det neste midtpunktet, m = 9.75 På denne måten kan vi fortsetja heilt til vi har komt så nær nullpunktet x = 10 som vi vil. Du kan prøva ut metoden her.

Metoden vil alltid finna ei løysing som er nær nok. Hvis vi startar med heldige verdiar av (feks a = 8 og b = 12), så vil vi finna nullpunktet med ein gong. Men som regel konvergerer metoden seint.

Algoritme

Ein algortime i pseudokode kan då sjå slik ut. Merk at hvis produktet mellom f(a) og f(b) er negativt, så har dei ulikt fortegn!


    Gitt funksjonen f, a og b.
        gjenta til a,b er nær nok nullpunktet
        	m ← (a + b)/2
        	hvis f(a)f(x) < 0
        		b ← m
        	ellers
        		a ← m
    

LENKER

Bisection method (Wikipedia)