Difflikningar: Newtons kjøle- (og varme-)lov

Dette er eksempel på praktisk bruk av førsteordens difflikningar. Eit nesten heilt likt eksempel er Fall med lineær luftmotstand.

Ei oppgave frå R2 får vi vita at vi set ein bolle med gelé til avkjøling i eit rom der temperaturen er 20 °C. 

Temperaturen, T(t) er då gitt ved ei differensiallikning som vi kan skriva:

T' = - k (T - T_o), der  k er ein konstant, og T_o er temperaturen til omgivelsane, dvs. rommet i vårt eksempel.

Dette er den såkalte Newtons kjølelov, som fortel at Endringsraten for temperaturen til eit objekt er proporsjonalt med differansen mellom objektet sin temperatur og temperaturen til omgivelsane. Og dette jo virkar fornuftig.* Så la oss sjå kva funksjon T(t) blir.

Generell løysing

Vi løyser først difflikninga ved å ordna den:

T' + kT = kT_o

Så multipliserer vi med (den integrerande) faktoren e^kt:

T' e^kt + kT e^kt = kT_o e^kt

No kan vi skriva om venstre sida ved å bruka produktregelen (+ kjerneregelen) for den deriverte baklengs:

(T e^kt)' = kT_o e^kt

No kan vi ta integralet på begge sider:

T e^kt = ∫ kT_o e^kt

Høgre sida kan vi no integrera og vi får ∫ kT_o e^kt =  kT_o ∫  e^kt = kT_o * 1/k e^kt + C  = T_o * e^kt + C. Altså har vi:

T e^kt = T_o * e^kt + C

Til slutt multipliserer vi med faktoren e^-kt på begge sider, og får den generelle løysinga:

T(t) = T_o + Ce^-kt

Spesiell løysing:

Når vi no får vita at temperaturen i gelébollen til å begynna med er 95 grader, dvs at T(0) = 95, så kan vi finna C:

95 = 20 + Ce^k0. Sidan e⁰ = 1, gir dette at C = 75.

Vi får også vita at temperaturen etter tre timar er 25 grader. Her lar vi t vera tid i mnutter, og då betyr dette at T(180) = 25. Altså:

25 = 20 + 75e^-k*180.

Når vi løyser denne for k, får vi at k = 0.015. Det gir oss denne spesielle løysinga:

T(t) = 20 + 75e^-0.015t

Graf

Grafen til denne funksjon ser slik ut:

Vi kan leggja merke til eit par-tre ting:

• Når t går mot uendelig går funksjonen mot y = 20. Dette ser vi av funksjonsuttrykket, sidan leddet 75e^-0.015t blir mindre og mindre. Men vi kan også forstå det hvis vi ser på difflikninga. For når temperaturen T nærmar seg T_o (20), så går uttrykket på høgre sida mot null. Det vil sei at den deriverte går mot null, og det betyr igjen at grafen flatar ut. Fysisk, så er dette også lett å forstå, for så lenge det er ein temperaturforskjell, så vil det gå varme (dvs. energi) frå gelébollen til lufta. Det betyr at den indre energien i geléen aukar, og det er det sama som at temperaturen aukar. Men når temperaturen i gelébollen og i lufta blir like, så vil det ikkje lenger gå varme mellom dei, og temperaturen i gelébollen vil ikkje lenger endra seg. Vi seier at dei to systeme (lufta og bollen) er i likevekt. Så noke stader vil du kanskje sjå at T_o blir kalla T_eq. (Eq for equilibrium)
• Vi kunne ha lagt oss eit enklare reknestykke ved å kalla temperaturdifferansen  (T - T_o) for Q (eller ka du vil). Då har vi at Q' = T', og difflikninga vår blir: Q' = k Q. Dette kjenner vi igjen som likninga for decay, eller for prosentvis nedgang. Og vi veit at svaret blir Q = Ce^-kt. Randbetingelsane våre ville då blitt at Q(0) = 75, og Q(180) = 5. Dette ville gitt Q(t) = 75e^-0.015t. Med andre ord hadde vi hatt at T(t) = T_o + Q(t) = 20 + 75e^-0.015t, som i stad.
• Hvis vi starta med den same difflikninga dvs. T' = - k (T - T_o), men med forskjellige randkrav, korleis ville funksjonen blitt då? Sei vi hadde at T(0) =  -55 °C, og T(180) = 15 °C, så hadde vi fått den speilvendte grafen Temperaturen ville ha stige raskt i begynnelsen, men flata ut mot 20 °C. Vi har ein heil familie med funksjonar som tilfredsstiller den generelle løysinga, men alle vil etter kvart nærma seg To. Slik ser dette ut (riktignok med ein annan k-verdi):

Til slutt kan ein kanskje spørja seg om ka som skjer hvis vi prøver oss med feks T(0) = 95, som i det første tilfellet, men T(180) = 15, som i det andre. Med andre ord: Kva skjer hvis dei to punkta vi bruker ligg på kvar si side av asymptoten y = 20? Men det går ikkje. Vi får ingen løysing, og det gir heller ingen meining fysisk at temperaturen skal fortsetja å falla etter at vi har oppnådd lufttemperatur.

* All utrekninga her forutset at at nedkjøling faktisk føljer difflikninga vår. Men som så ofte i fysikken er denne loven bare ei tilnærming.